De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Reageren...

Re: De stelling van Pythagoras

Hallo,

Ik heb een pagina over de arctangensreeks gevonden. Tot het deel van de Meetkundige Som snap ik het. Hierna gaan ze van de MS:
* Sn = (1- ¦Ö^n)/(1- ¦Ö)
opeens naar de volgende integraal:
Rest_n = (-1)^n-1 0¨°a ^x2n/_{1 + x²} dx
Hoe komen ze tot deze formule en wat heeft deze met de arctangensreeks te maken?

Vriendelijke groet.

Antwoord

Het punt is dat de afgeleide van arctan(x) gelijk is aan 1/(1+x²). Dat betekent dat je de reeks van arctan(x) kunt maken door die van 1/(1+x²) stap voor stap te primitiveren.
Wat, waarschijnlijk, op die pagina gebeurt is dat men kijkt naar het verschil tussen arctan(x) en een partiële som van zijn reeks. Dat gaat het makkelijkst door eerst naar 1/(1+x²) te kijken: S_n=1-x²+x⁴-...+(-x²)^n-1=(1-(-x²)ⁿ)/(1+x²); hieruit volgt dat 1/(1+x²)-S_n gelijk is aan (-x²)ⁿ/(1+x²).
Nu aan beide kanten integreren (zo te zien van 0 tot a), dan krijg je links arctan(a)-(a-a³/3+a⁵/5-...+(-1)^n-1x^2n-1/(2n-1) en rechts de integraal van (-1)ⁿx²ⁿ/(1+x²)

Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!

Reactie:
	Klik eerst in het tekstvlak voordat je deze knopjes en tekens gebruikt. Pas op: onderstaande knopjes en speciale karakters werken niet bij ALLE browsers! áâæàåãäßçéêèëíîìïñóôòøõöúûùüýÿ½¼¾€£®© $\forall$$\exists$$\neg$$\wedge$$\vee$$\Leftrightarrow$$\Leftarrow$$\Rightarrow$$\emptyset$$\cap$$\cup$$\supset$$\supseteq$$\not\subset$$\subset$$\subseteq$$\in$$\notin$ $\sim$$\equiv$$\ne$$\pm$$\times$$\div$$\otimes$$\oplus$$\pi$$\leftarrow$$\uparrow$$\to$$\downarrow$ $\sqrt{}$$\sum$$\prod$$\infty$$\smallint$$\Delta$$\nabla$$\partial$$\angle$$\bot$$\cong$$\widehat p$ $\alpha$$\beta$$\gamma$$\delta$$\varepsilon$$\phi$$\theta$$\lambda$$\mu$$\rho$$\sigma$$\tau$$\omega$$\chi$$\Gamma$$\vartheta$$\Lambda$$\Omega$$\Psi$$\zeta$ $\mathbf{N}$ $\mathbf{Z}$ $\mathbf{Q}$ $\mathbf{R}$ $\mathbf{C}$
Categorie:	Ruimtemeetkunde
Ik ben:	-------------- Maak een keuze --------------- Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo Leerling bovenbouw vmbo Leerling bovenbouw havo-vwo Leerling mbo Student hbo Student universiteit 1ste graad ASO-TSO-BSO Overige TSO-BSO 2de graad ASO 3de graad ASO Student Hoger Onderwijs België Student universiteit België Cursist vavo Docent Ouder Iets anders Beantwoorder
Naam:
Emailadres:
Datum:	20-5-2024